К содержимому
Олег Храбров · ЕГЭ и ОГЭ
Занятия

Карта страницы

Опубликовано . Обновлено

Как решать задание №14 ЕГЭ-2027: тригонометрия

То, что раньше было заданием №13, в проекте ЕГЭ-2027 стало заданием №14. Формат решения не изменился: нужно решить уравнение, записать все серии и отобрать корни на заданном отрезке. Метод разберём на примере из материалов ФИПИ-2026, который Олег уже проверил математически.

Автор: Храбров Олег

Как устроено задание №14

Задание состоит из двух частей. В пункте а получают общий ответ, в пункте б отбирают корни на заданном промежутке. Если сразу подбирать отдельные значения, легко потерять серию.

  1. Разобрать уравнение

    Перенесите всё в одну сторону, используйте подходящие тождества и постарайтесь получить произведение.

  2. Записать полный ответ

    Решите каждый множитель отдельно и выпишите все серии. Одного значения угла недостаточно: в пункте а нужна полная серия решений.

  3. Отобрать корни

    Отметьте границы промежутка и точки найденных серий на единичной окружности. После этого считайте корни на дуге от левой границы к правой.

Как отбирать корни по единичной окружности

Начинаем с левой границы отрезка и движемся против часовой стрелки, в сторону возрастания аргумента. Каждую встреченную точку подписываем исходным значением угла, чтобы одинаковые положения после полного оборота не смешались между собой.

  1. Запишите все серии рядом с окружностью

    Для каждой серии найдите положения точки внутри одного полного оборота и отметьте их на окружности.

  2. Поставьте левую границу

    Прибавляйте или вычитайте 2π, пока не получите знакомый угол на окружности. Возле точки сохраните исходную подпись границы.

  3. Найдите длину дуги между границами

    Вычтите из правой границы левую. Отдельно отметьте число полных оборотов и оставшихся четвертей, затем двигайтесь против часовой стрелки.

  4. Подписывайте встреченные корни

    Если дуга проходит через точку одной из серий, подпишите соответствующий угол. После полного оборота геометрическая точка повторится, но подпись угла изменится на 2π.

  5. Проверьте правую границу

    Остановитесь ровно в правой границе. Квадратная скобка включает граничный корень, круглая скобка исключает его.

Отбор корней на единичной окружностиДуга по окружности от −4π до −5π/2. Отмечены три корня, попавшие на закрытый отрезок.A123

Отбор корней на единичной окружности

Дуга по окружности от −4π до −5π/2. Отмечены три корня, попавшие на закрытый отрезок.

На отрезок попали три корня: −7π/2, −11π/4 и −5π/2.

  1. −4π: начало отрезка, не является корнем
  2. −7π/2: корень
  3. −11π/4: корень
  4. −5π/2: корень на правой границе

Типичные ошибки в записи

В этом примере преобразования короткие. Основные ошибки возникают в записи: теряется ветвь, выполняется деление на возможный ноль или неверно отмечается граница.

Проведите по таблице влево, чтобы увидеть все столбцы.

Четыре частые ошибки в задании №14
ОшибкаЧто видно в записиЧто проверить
Потеряна серияПосле тригонометрического равенства записана одна ветвь.Все ли положения точки на окружности учтены.
Вместо серии записано значениеВ ответе появляется запись вроде cos x = π/2 или только πn.Есть ли полноценная формула общего решения.
Выполнено деление на возможный нольОдин множитель исчезает до разбора его нулевой ветви.Рассмотрен ли каждый множитель произведения.
Неверно посчитаны четвертиДуга заканчивается раньше или позже правой границы.Совпадают ли направление и число пройденных четвертей.

Разбор примера по шагам

Берём проверенный пример из методических материалов ФИПИ к ЕГЭ-2026. Номер задания изменился, но этот пример по-прежнему показывает тот же формат: сначала решаем уравнение в общем виде, затем отдельно работаем с отрезком.

Условие
2sin3x=2cos2x+2sinx 2\sin^3 x = \sqrt{2}\cos^2 x + 2\sin x
x∈[−4π;−5π2] x \in [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]

1. Переносим всё в одну сторону

Переносим правую часть влево. Затем группируем первые два слагаемых и используем основное тригонометрическое тождество.

Преобразования
2sin3x−2sinx−2cos2x=0 2\sin^3 x - 2\sin x - \sqrt{2}\cos^2 x = 0

Все слагаемые теперь находятся в левой части.

2sinx(sin2x−1)−2cos2x=0 2\sin x(\sin^2 x - 1) - \sqrt{2}\cos^2 x = 0

Из первых двух слагаемых вынесли общий множитель.

−2sinxcos2x−2cos2x=0 -2\sin x\cos^2 x - \sqrt{2}\cos^2 x = 0

Заменили синус в квадрате икс минус один на минус косинус в квадрате икс.

2. Раскладываем на множители

У обоих слагаемых есть общий множитель. Выносим его, а затем умножаем обе части равенства на минус один, чтобы запись была аккуратнее.

Разложение на множители
−cos2x(2sinx+2)=0 -\cos^2 x(2\sin x + \sqrt{2}) = 0

Вынесли минус косинус в квадрате икс.

cos2x(2sinx+2)=0 \cos^2 x(2\sin x + \sqrt{2}) = 0

Умножили равенство на минус один. Корни от этого не изменились.

3. Решаем обе ветви

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Рассматриваем два случая.

Первая ветвь
cosx=0 \cos x = 0
x=π2+πk,k∈ℤ x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
Вторая ветвь
sinx=−22 \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
x=−π4+2πn,n∈ℤ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}
x=−3π4+2πm,m∈ℤ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m,\quad m \in \mathbb{Z}

4. Оставляем корни заданного отрезка

На единичной окружности отмечаем обе границы и идём от левой к правой в сторону возрастания аргумента. На этой дуге лежат три корня. Правая граница входит в отрезок, поэтому её тоже оставляем.

Ответ пункта б
x∈{−7π2;−11π4;−5π2} x \in \left\{-\frac{7\pi}{2}; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{5\pi}{2}\right\}

Задача для самостоятельной работы

Сначала решите уравнение без оглядки на отрезок. Потом перенесите полученные серии на единичную окружность и только там выбирайте нужные точки.

Условие
2+2cos(π−2x)+8sinx=6+12sinx 2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x
x∈[3π;9π2] x \in \left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]
Показать ответ и самопроверку

Ответ и самопроверка

Используем два тождества: косинус разности с π меняет знак, а разность единицы и косинуса двойного угла превращается в удвоенный квадрат синуса.

Преобразуем уравнение
2−2cos2x+22sinx=6+23sinx 2 - 2\cos 2x + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x

Раскрыли косинус разности и упростили корни из восьми и двенадцати.

4sin2x+2(2−3)sinx−6=0 4\sin^2 x + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sin x - \sqrt{6} = 0

Перенесли всё влево и применили тождество для косинуса двойного угла.

(2sinx+2)(2sinx−3)=0 (2\sin x + \sqrt{2})(2\sin x - \sqrt{3}) = 0

Разложили квадратный трёхчлен на множители.

Решаем обе ветви
sinx=−22 \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
sinx=32 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}
Полные серии решений
x=π3+2πk,k∈ℤ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
x=2π3+2πl,l∈ℤ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi l,\quad l \in \mathbb{Z}
x=−π4+2πm,m∈ℤ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m,\quad m \in \mathbb{Z}
x=−3π4+2πn,n∈ℤ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}

Теперь отмечаем эти серии на единичной окружности и проходим от 3π до 9π/2 в сторону возрастания аргумента.

Ответ пункта б
x∈{13π4;15π4;13π3} x \in \left\{\frac{13\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}; \frac{13\pi}{3}\right\}

Источники

  1. ФИПИ: комплект проектов документов ЕГЭ 2027 года по математикеПроверено
  2. ФИПИ. Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2026 года. МатематикаПроверено

Частые вопросы

Что проверяют в задании №14 ЕГЭ-2027?

Нужно решить тригонометрическое уравнение, записать общий ответ и выбрать корни на заданном промежутке. Важна и математика, и полная запись серий решений.

Почему опасно делить на множитель?

Если множитель может быть равен нулю, деление удалит соответствующую ветвь решения. Поэтому после разложения произведения каждый множитель рассматриваем отдельно.

Как устроен отбор по единичной окружности?

Сначала отмечается левая граница. Затем движение идёт четвертями в сторону возрастания аргумента, точки серий подписываются, а лежащие на дуге корни считываются с окружности.

Нужно ли подбирать целые значения параметра?

Для отбора корней удобнее единичная окружность. На ней видно направление движения, границы отрезка и все точки серий. Так меньше шансов пропустить корень или взять лишний.

Что делать с корнем на границе отрезка?

Проверьте тип скобки и само значение в исходном уравнении. В закрытом отрезке подходящую граничную точку оставляем, в открытом промежутке её брать нельзя.